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Estadística Correlacional

Asociación, inferencia y reporte

Juan Carlos Castillo

Sociología FACSO - UChile

2do Sem 2024

correlacional.netlify.com

Sesión 3:

Inferencia 2: Error estándar y curva normal

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La tarea:

# Generar todas las combinaciones posibles de dos dados
dado1 <- rep(1:6, each = 6)
dado2 <- rep(1:6, times = 6)
# Calcular la suma y el promedio para cada combinación
suma <- dado1 + dado2
promedio <- suma / 2
# Crear un data frame con los resultados
resultados <- data.frame(dado1, dado2, suma, promedio)
# Mostrar el data frame
print(resultados)
# Cargar la librería para gráficos
library(ggplot2)
# Gráfico de frecuencias para la suma
ggplot(resultados, aes(x = suma)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de la Suma", x = "Suma", y = "Frecuencia")
# Gráfico de frecuencias para los promedios
ggplot(resultados, aes(x = promedio)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de los Promedios", x = "Promedio", y = "Frecuencia")
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# Generar todas las combinaciones posibles de dos dados
dado1 <- rep(1:6, each = 6)
dado2 <- rep(1:6, times = 6)
# Calcular la suma y el promedio para cada combinación
suma <- dado1 + dado2
promedio <- suma / 2
# Crear un data frame con los resultados
resultados <- data.frame(dado1, dado2, suma, promedio)
# Mostrar el data frame
print(resultados)
   dado1 dado2 suma promedio
1      1     1    2      1.0
2      1     2    3      1.5
3      1     3    4      2.0
4      1     4    5      2.5
5      1     5    6      3.0
6      1     6    7      3.5
7      2     1    3      1.5
8      2     2    4      2.0
9      2     3    5      2.5
10     2     4    6      3.0
11     2     5    7      3.5
12     2     6    8      4.0
13     3     1    4      2.0
14     3     2    5      2.5
15     3     3    6      3.0
16     3     4    7      3.5
17     3     5    8      4.0
18     3     6    9      4.5
19     4     1    5      2.5
20     4     2    6      3.0
21     4     3    7      3.5
22     4     4    8      4.0
23     4     5    9      4.5
24     4     6   10      5.0
25     5     1    6      3.0
26     5     2    7      3.5
27     5     3    8      4.0
28     5     4    9      4.5
29     5     5   10      5.0
30     5     6   11      5.5
31     6     1    7      3.5
32     6     2    8      4.0
33     6     3    9      4.5
34     6     4   10      5.0
35     6     5   11      5.5
36     6     6   12      6.0
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# Cargar la librería para gráficos
library(ggplot2)
# Gráfico de frecuencias para la suma
ggplot(resultados, aes(x = suma)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de la Suma", x = "Suma", y = "Frecuencia")
# Gráfico de frecuencias para los promedios
ggplot(resultados, aes(x = promedio)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de los Promedios", x = "Promedio", y = "Frecuencia")

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Probabilidad de promedio de 2 dados al azar

   Promedio Probabilidad
1       1.0   0.02777778
2       1.5   0.05555556
3       2.0   0.08333333
4       2.5   0.11111111
5       3.0   0.13888889
6       3.5   0.16666667
7       4.0   0.13888889
8       4.5   0.11111111
9       5.0   0.08333333
10      5.5   0.05555556
11      6.0   0.02777778
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¿Qué aprendimos de esto?

  • la ocurrencia de algunos eventos (como la suma o promedio de dos dados) tienen una probabilidad determinada, lo que genera una distribución teórica de probabilidad
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¿Qué aprendimos de esto?

  • la ocurrencia de algunos eventos (como la suma o promedio de dos dados) tienen una probabilidad determinada, lo que genera una distribución teórica de probabilidad

  • si repito un evento aleatorio (ej: sacar muestras repetidas de dos dados y promediarlos) obtengo la distribución empírica de probabilidad (de frecuencias de los eventos)

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¿Qué aprendimos de esto?

  • la ocurrencia de algunos eventos (como la suma o promedio de dos dados) tienen una probabilidad determinada, lo que genera una distribución teórica de probabilidad

  • si repito un evento aleatorio (ej: sacar muestras repetidas de dos dados y promediarlos) obtengo la distribución empírica de probabilidad (de frecuencias de los eventos)

  • de acuerdo a la ley de los grandes números, el promedio empírico convergerá al teórico a medida que aumenta el número de repeticiones
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Muestra y distribución

  • Sabemos que si sacamos muchos promedios de eventos aleatorios estos se van a aproximar a una distribución teórica de probabilidad
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Muestra y distribución

  • Sabemos que si sacamos muchos promedios de eventos aleatorios estos se van a aproximar a una distribución teórica de probabilidad

  • ¿De qué nos sirve esta información si

    • ¿contamos sólo con un evento aleatorio o muestra de datos (ej: un promedio de dos dados)?

    • ¿no conocemos la distribución teórica?

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Curva normal: un modelo teórico de distribución conocido

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Histograma

Frecuencias o probabilidad empírica de cada evento

Curvas de densidad

Modelo teórico/matemático de la distribución

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Curva de distribución

  • Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma de frecuencias donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada
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Curva de distribución

  • Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma de frecuencias donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada

  • Representa una función/generalización de cómo se distribuyen las puntuaciones en la población de manera teórica

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Curva de distribución

  • Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma de frecuencias donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada

  • Representa una función/generalización de cómo se distribuyen las puntuaciones en la población de manera teórica

  • Las puntuaciones se ordenan de izquierda (más bajo) a derecha (más alto) en el eje horizontal (x)

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Curva de distribución

  • Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma de frecuencias donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada

  • Representa una función/generalización de cómo se distribuyen las puntuaciones en la población de manera teórica

  • Las puntuaciones se ordenan de izquierda (más bajo) a derecha (más alto) en el eje horizontal (x)

  • El área bajo la curva representa el 100% de los casos de la población

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Curva de distribución normal

  • Es una curva que representa la distribución de los casos de la población en torno al promedio y con una varianza conocida
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Curva de distribución normal

  • Es una curva que representa la distribución de los casos de la población en torno al promedio y con una varianza conocida

  • Coinciden al centro el promedio, la mediana y la moda

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Curva de distribución normal

  • Es una curva que representa la distribución de los casos de la población en torno al promedio y con una varianza conocida

  • Coinciden al centro el promedio, la mediana y la moda

  • Es simétrica y de forma acampanada

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Curva de distribución normal

  • Es una curva que representa la distribución de los casos de la población en torno al promedio y con una varianza conocida

  • Coinciden al centro el promedio, la mediana y la moda

  • Es simétrica y de forma acampanada

  • Establece áreas bajo la curva en base a desviaciones estándar del promedio

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¿Por qué es importante la distribución normal en estadística?

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¿Por qué es importante la distribución normal en estadística?

  • Permite comparar puntajes de distintas distribuciones en base a un mismo estándar (puntajes Z)

  • Permite estimar proporciones bajo la curva normal de cualquier valor de la distribución

  • Base de la distribución muestral del promedio, error estándar, e inferencia estadística en general

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Distribución normal, desviaciones estándar y áreas bajo la curva

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Puntaje zz y estandarización

  • Estandarización: expresar el valor de una distribución en términos de desviaciones estándar basados en la distribución normal

  • Permite comparar valores de distribuciones distíntas, ya que lleva los puntajes a un mismo estándar

  • Para obtener el valor estandarizado (puntaje Z) se le resta la media y se divide por la desviación estándar

z=x−μσz=x−μσ

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Ejemplo comparación distribuciones (Ritchey, p. 148)

  • Mary obtiene 26 puntos en la prueba académica ACT, que va de 0 a 36, con media=22 y sd=2

  • Jason obtiene 900 puntos en la prueba SAT, que va de 200 a 1600, con media=1000 y sd=100

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Ejemplo comparación distribuciones (Ritchey, p. 148)

  • Mary obtiene 26 puntos en la prueba académica ACT, que va de 0 a 36, con media=22 y sd=2

  • Jason obtiene 900 puntos en la prueba SAT, que va de 200 a 1600, con media=1000 y sd=100

¿A quién le fue mejor?

¿Cómo le fue específicamente a cada uno?

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Comparando peras con manzanas:

ZMary=x−μσ=26−222=2ZJason=x−μσ=900−1000100=−1

  • Z entrega un puntaje comparable en términos de desviaciones estándar respecto del promedio

  • Estos puntajes además pueden traducirse a la ubicación del puntaje en percentiles de la distribución normal

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Proporciones

Asumiendo distribución normal, se puede obtener la proporción de casos bajo la curva normal que están sobre y bajo el puntaje Z

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Ejemplo 1




Pensemos en estatura de 1.65, en una muestra con ˉx=160 y σ=5.

z=x−μσ=165−1605=1

En base a la distribución normal sabemos que bajo 1 desviación estańdar está el 68% de los datos + la cola izquierda de la curva, que es (100-68/2)=16%.

Ej: 84% (68+16) de los casos tienen una estatura menor a 165 cm

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Ejemplo 2

Puntaje en prueba=450, en una muestra con media=500 y ds=100, en R

# Definimos los parámetros
X <- 450  # Puntaje
mu <- 500  # Media
sigma <- 100  # Desviación estándar
# Calculamos el puntaje z
z <- (X - mu) / sigma
z
# Calculamos el percentil asociado al puntaje z
percentil <- pnorm(z) * 100
# Mostramos el resultado
percentil
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Ejemplo 2

Puntaje en prueba=450, en una muestra con media=500 y ds=100, en R

# Definimos los parámetros
X <- 450  # Puntaje
mu <- 500  # Media
sigma <- 100  # Desviación estándar
# Calculamos el puntaje z
z <- (X - mu) / sigma
z
# Calculamos el percentil asociado al puntaje z
percentil <- pnorm(z) * 100
# Mostramos el resultado
percentil
[1] 30.85375
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Distribución muestral del promedio


  • Si tengo la desviación estándar de los promedios, puedo construir un intervalo de probabilidad, basado en la curva normal

  • Por ejemplo si mi promedio es 10 y la desviación estándar (ds) es 1, puedo decir que el un rango de 8 y 12 se encuentra (app) el 95% de los promedios (prom +/- 2 ds)

  • Peeero ...

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Problema: tenemos 1 SOLA MUESTRA, y un solo promedio

¿Cómo obtenemos entonces la desviación estándar de los promedios?

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Error estándar y teorema central del límite

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Desviación estándar y error estándar

  • más que el promedio de la variable en nuestra muestra, en inferencia nos interesa estimar en qué medida ese promedio da cuenta del promedio de la población
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Desviación estándar y error estándar

  • más que el promedio de la variable en nuestra muestra, en inferencia nos interesa estimar en qué medida ese promedio da cuenta del promedio de la población
  • contamos con una muestra, pero sabemos que otras muestras podrían haber sido extraídas, probablemente con distintos resultados.
29 / 39

Distribución muestral del promedio

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Distribución muestral del promedio

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Distribución muestral del promedio

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Teorema del límite central

  • la distribución de los promedios de distintas muestras - o distribución muestral del promedio - se aproxima a una distribución normal
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Teorema del límite central

  • la distribución de los promedios de distintas muestras - o distribución muestral del promedio - se aproxima a una distribución normal

  • En muestras mayores a 30 la desviación estándar de los promedios (error estándar del promedio) equivale a: σˉX=SE(errorestándar)=s√N

    • s = desviación estándar de la muestra
    • N = tamaño de la muestra
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Basados en el teorema del límite central, es posible calcular la desviación estándar de los promedios (error estándar) con

una sola muestra

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Demostración: 10 muestras, 5 casos c/u

-> ver demostración con más casos aquí

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¿Para qué nos sirve el error estándar o SE del promedio?

(... y de otros estadísticos, como la correlación)

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Usos del error estándar

  • Dos usos complementarios:

    • construcción de intervalos de confianza

    • test de hipótesis

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Usos del error estándar

  • Dos usos complementarios:

    • construcción de intervalos de confianza

    • test de hipótesis

-> Próxima clase

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Resumen

- Probabilidades teóricas y empíricas

- Curva normal y puntajes Z

- Error estándar

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Estadística Correlacional

Inferencia, asociación y reporte

Juan Carlos Castillo

Sociología FACSO - UChile

2do Sem 2024

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La tarea:

# Generar todas las combinaciones posibles de dos dados
dado1 <- rep(1:6, each = 6)
dado2 <- rep(1:6, times = 6)
# Calcular la suma y el promedio para cada combinación
suma <- dado1 + dado2
promedio <- suma / 2
# Crear un data frame con los resultados
resultados <- data.frame(dado1, dado2, suma, promedio)
# Mostrar el data frame
print(resultados)
# Cargar la librería para gráficos
library(ggplot2)
# Gráfico de frecuencias para la suma
ggplot(resultados, aes(x = suma)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de la Suma", x = "Suma", y = "Frecuencia")
# Gráfico de frecuencias para los promedios
ggplot(resultados, aes(x = promedio)) +
  geom_bar() +
  labs(title = "Gráfico de Frecuencias de los Promedios", x = "Promedio", y = "Frecuencia")
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