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Pilares de la inferencia

Diferencias desviación estándar y error estándar

... y más de Error Estándar

• se calcula no solo para el promedio, sino para distintos estadísticos como correlación, regresión, desviación estándar (con distintas fórmulas para cada uno)

• como está expresado en unidades estándar de variación, permite construir rangos de probabilidad basados enla distribución normal

• estos rangos de probabilidad se conocen como intervalos de confianza

• El error estándar, por su asociación a las áreas de la curva normal, se relaciona con niveles de probabilidad

• Si sumo y resto error(es) estándar al promedio puedo construir un rango de valores probables en que se encuentra el parametro poblacional -> intervalo de confianza

• Por ejemplo, si tengo un promedio=10 y SE=1, puedo decir que aproximadamente el 68% de los casos se encuentran en el intervalo entre 9 y 11 (basado en distribución normal)

Error y confianza

• Un 68% implica que la probabilidad de que el promedio esté fuera de ese rango (o probabilidad de error) es de un 32% (100%-68%)

Esto es equivalente a preguntarse cuánto error estoy dispuesto a tolerar como resultado de una inferencia estadística

Y se asocia al concepto de nivel de confianza

¿Certeza o precisión?

• No hay certezas, solo probabilidades

• Las probabilidades se asocian a un rango (intervalo) que garantice un cierto nivel de confianza

• Y esto requiere un compromiso o compensación (trade-off), ya que:

  • un intervalo mayor poseerá un mayor nivel de confianza, pero en un rango de valores demasiado amplio
  • un intervalo menor poseerá un menor nivel de confianza, pero en un rango de valores más estrecho

Es decir, qué tipo de conclusión prefiero:

• el promedio de ingresos se encuentra entre 500.000 y 5.000.000, con un 99% de confianza, ó

• el promedio de ingresos se encuentra entre 700.000 y 710.000, con un 65% de confianza

Intervalos vs confianza

¿De qué depende el nivel de confianza?

• en estadística inferencial, la confianza se asocia a 1 - probabilidad de error

• la probabilidad de error a aceptar no es un criterio estadístico, es convencional

• por convención, se acepta como estadísticamente significativa una probabilidad de error menor al 5%, lo que equivale (al menos) a un nivel de confianza del 95%

¿Qué significa un 95% de confianza?

• que si tuviéramos la posibilidad de extraer múltiples muestras, el 95% de las veces nuestro intervalo contendría el promedio

• o que existe un 5% de probabilidad de error, es decir, de que el promedio de la muestra no sea el de la población

• o que las chances de error son 1 de 20

¿De qué depende el tamaño del intervalo de confianza?

• recordemos que el intervalo de confianza se elabora sumando y restando errores estándar al promedio

$$\sigma_{\bar{X}}=SE(error estándar)=\frac{s}{\sqrt{N}}$$

• dado que el tamaño muestral (N) se encuentra en el denominador del \(SE\), a mayor N, menor será el \(SE\) y menor el intervalo de confianza

• esto tiene implicancias directas en el cálculo del tamaño muestral

Pasos en la construcción del intervalo de confianza (para un promedio)

1. Obtención de la media y el error estándar

2. Determinar el nivel de confianza (expresado en puntaje Z) para la construcción del intervalo

3. Aplicar fórmula:

$$\bar{X}\pm Z*\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$$

Determinando el nivel de confianza

Valores del intervalo

Determinar el valor del límite superior y el límite inferior del intervalo en la curva normal para un nivel de confianza del 95%:

Valores del intervalo

Y sabemos por la distribución normal que entre +/- 2 desviaciones estándar de la curva normal se encuentra el 95,44% de los casos:

Por lo tanto, para un 95% será algo menos que +/- 2ds ... pero cuánto específicamente?

De percentil a puntaje Z

• Para hacer la equivalencia entre puntajes Z y percentiles vamos a una tabla de puntajes Z ... o directamente en R:

qnorm(0.025) # límite inferior

[1] -1.959964

qnorm(0.975) # límite superior

[1] 1.959964

Y aproximando: \(\pm{1.96}\). Por lo tanto:

Intervalo de 95% de confianza

Ejemplo: intervalo de confianza para un promedio

• Tenemos: \(SE=2.500\), \(\bar{x}_{ingresos}=800.000\)

• Con estos valores podemos construir un rango de probabilidad basado en la curva normal, sumando y restando errores estándar

• \(\bar{X}{\color{red}\pm}1.96SE\) abarcan el 95% de los valores alrededor del promedio

  • \(800.000 - (1.96*2.500) = 800.000 - 4.900={\color{red}{795.100}}\)
  • \(800.000 + (1.96*2.500) = 800.000 + 4.900={\color{red}{804.900}}\)

• Por lo tanto, podemos decir con un 95% de confianza que el promedio de ingresos se encuentra entre 795.100 y 804.900

Aumentando el nivel de confianza: 99%

• además del 95% de confianza, otro nivel convencional es el 99% de confianza

• con este nivel tenemos una menor probabildad de error, pero un intervalo más grande

• en este caso, el límite inferior del intervalo es 0.5%, y el superior 99.5%

En R

Estimando valores Z para límites de intervalo de confianza al 99%:

qnorm(0.005) # límite inferior

[1] -2.575829

qnorm(0.995) # límite superior

[1] 2.575829

Generalizando:

• Para un intervalo de confianza al 95%:

  \(\bar{X}\pm1.96SE\)

• Para un intervalo de confianza al 99%:

  \(\bar{X}\pm2.58SE\)

Mismo ejemplo, pero al 99% de confianza

• Tenemos: \(SE=2.500\), \(\bar{x}_{ingresos}=800.000\)

• \(\bar{X}{\color{red}\pm}2.58SE\) abarcan el 99% de los valores alrededor del promedio

  • \(800.000 - (2.58*2.500) = 800.000 - 6.450={\color{red}{793.550}}\)
  • \(800.000 + (2.58*2.500) = 800.000 + 6.450={\color{red}{806.450}}\)

• Por lo tanto, podemos decir con un 99% de confianza que el promedio de ingresos se encuentra entre 793.550 y 806.450

Comparando intervalos:

• 95% de confianza: \(800.000\pm4.900=[795.100 - 804.900]\)

• 99% de confianza: \(800.000\pm6.450=[793.550 - 806.450]\)

Por lo tanto, a mayor nivel de confianza, mayor es el intervalo, pero disminuye la precisión o aumenta el margen de error

Margen de error

• El margen de error es el valor en que puede oscilar el promedio en el intervalo.

• Es decir, equivale a lo que se suma/resta al promedio para generar el intervalo, pero en general se expresa en términos de porcentaje

Ejemplo margen de error

• Para nuestro intervalo al 95%, el margen de error equivale a qué porcentaje es 4.900 en relación al total. Aplicando regla de 3 para porcentajes:

\(Margen-error_{95}=\frac{4.900*100}{800.000}=0.612\)

• Por lo tanto, el margen de error en este caso es de \(\pm{0.6}\%\)

Recomendaciones

Ver simulación de intervalo de confianza para promedio muestral