Correlación y categóricas

• sentido original de correlación (Pearson): variables intervalares/razón, también se extiende a ordinal (Spearman)

• dadas las ventajas de este coeficiente, se puede extender su uso a variables con nivel de medición nominal con algunas consideraciones

• veamos un ejemplo:

Ejemplo

Tenemos las siguientes variables:

x <- c(0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)
y <- c(12, 14, 17, 17, 11, 22, 23, 11, 19, 8, 12)

Donde x sería una variable nominal dicotómica con valores 1 y 0, mientras que y es una variable contínua (intervalar)

Del output de R tenemos que:

• la correlación punto biserial es 0.218, indicando una relación positiva moderada entre ambas variables

• el valor p correspondiente es 0.5193, que no permite rechazar la hipótesis nula con un 95% de confianza ya que el valor p no es menor a 0.05

• como complemento se entrega el intervalo de confianza [-0.4391885 0.7233704], que como vemos contiene el 0, y por lo tanto con un 95% de confianza no podemos decir que las correlación es distinta de 0

¿Qué es esta correlación?

• no es más que una correlación de Pearson entre una variable nominal y una intervalar

• para diferenciarla de Pearson tradicional se le denomina correlación punto biserial

• hay que tener precauciones con su interpretación

Interpretación

• pensemos que x=1 es hombre,x=2 es mujer, y que y=nivel educativo, cómo se interpreta la correlación?

  • inferencia: que existe (o no) una asociación entre ambas variables (según si es estadísticamente distinta de cero)
  • tamaño: que esta asociación es debil, mediana o fuerte
  • sentido: difícil de interpretar, ej: mientras "más mujer", mayor educación (?)

Por lo tanto, correlación punto-biserial

• es equivalente a un test de diferencia de medias en términos de inferencia

• en términos de valor es igual que una correlación de Pearson varía entre -1 y 1

• el apellido de (punto) biserial se utiliza solo para dar cuenta que el nivel de medición de una de las variables es nominal, y se requieren consideraciones especiales en su interpretación

• también se puede denominar biserial a una correlación entre una variable intervalar/razón y una ordinal

Caso especial: correlación tetracórica

• Es una correlación entre dos variables dicotómicas (=categórica de dos niveles)

• Se calcula en base a la frecuencias de cada combinación de valores (00,01,10,11).

• Supone que ambas variables son continuas y normalmente distribuidas antes de la categorización.

Tipos de correlación según nivel de medición

Escalas de medición de variables

• NOIR: Nominal, Ordinal, Intervalar, Razón

Tipos de datos en relación a escalas de medición.

• Datos categóricos:

  • pueden ser medidos sólo mediante escalas nominales, u ordinales en caso de orden de rango

• Datos continuos:

  • Medidos en escalas intervalares o de razón
  • Pueden ser transformados a datos categóricos

Tablas de contingencia o tablas cruzadas

Tablas de contingencia y asociación

Ejemplo

Pensemos en la siguiente pregunta de investigación:

¿Existe una asociación entre la percepción de ser discriminado y el nivel educacional?

$H_a$: el nivel educacional se asocia a la percepción de ser discriminado

$H_0$: no hay asociación entre nivel educacional y percepción de ser discriminado

Generar subset CASEN con educación y percepción de discriminación

pacman::p_load(haven, sjmisc, dplyr)
casen2022_chi <- read_dta("/home/juank/Downloads/Base de datos Casen 2022 STATA.dta")
summary(casen2022$r9)
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"discriminado")
sjmisc::find_var(data = casen2022_chi,"nivel educacional")
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
  select(r9a:r9t, e6a)  # seleccionar variables
casen2022_chi <- casen2022_chi %>% 
  rename("educacion"=e6a) #renombrar 
save(casen2022_chi, 
     file = "slides/data/casen2022_chi.Rdata") #guardar objeto
rm(list = c('casen2022_chi')) # quitar del environment por tamaño/memoria

Recodificar discriminación

pacman::p_load(sjmisc)
load("data/casen2022_chi.Rdata")
frq(casen2022_chi$r9t)

r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37
Value | Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------
    0 |    No |  33472 | 16.55 |   16.55 |  16.55
    1 |    Sí | 168759 | 83.45 |   83.45 | 100.00
 <NA> |  <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

• En la lista CASEN al final hay una item de "no ha sido discriminado" (r9t), que usaremos para nuestro análisis; la renombramos "discrim"

• Quienes responden si son quienes no se han sentido discriminados, por lo tanto mejor cambiar las etiquetas para evitar confusiones

casen2022_chi$discrim <- sjlabelled::set_labels(casen2022_chi$r9t,
            labels=c( "discriminad@"=0,
                      "no discriminad@"=1))

frq(casen2022_chi$discrim)

r9t. Últ. 12 meses: No ha sido tratado injustamente o discriminado (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.83 sd=0.37
Value |           Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-----------------------------------------------------------
    0 |    discriminad@ |  33472 | 16.55 |   16.55 |  16.55
    1 | no discriminad@ | 168759 | 83.45 |   83.45 | 100.00
 <NA> |            <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

Ahora con la variable educación, recodificar universitario=1

casen2022_chi$educ_sup <- rec(casen2022_chi$educacion, rec = "1:12=0;13:15=1",val.labels = c("Menos que universitaria", "Universitaria o más"))
frq(casen2022_chi$educ_sup)

e6a. ¿Cuál es el nivel educacional al que asiste o el más alto al cual asistió? (x) <numeric> 
# total N=202231 valid N=202231 mean=0.16 sd=0.37
Value |                   Label |      N | Raw % | Valid % | Cum. %
-------------------------------------------------------------------
    0 | Menos que universitaria | 168994 | 83.56 |   83.56 |  83.56
    1 |     Universitaria o más |  33237 | 16.44 |   16.44 | 100.00
 <NA> |                    <NA> |      0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

Veamos ahora una tabla de frecuencias cruzadas

pacman::p_load(sjPlot)
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim)

Para mayor claridad generamos porcentajes por columnas de la tabla (discriminación)

casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.col.prc=TRUE)

Y acá por filas (educación)

casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim,
  show.row.prc=TRUE)

Para simplificar, pensemos en una muestra más pequeña de 100 casos y además balanceada.

Esta tabla estaría expresando lo esperado por nuestra hipótesis (alternativa): existen diferencias al cruzar estas variables, y por lo tanto hay asociación entre educación y percepción de discriminación

Este es el otro extremo: todas las celdas tienen la misma cantidad de casos

Esta tabla expresa la hipótesis nula $H_0$: no existe asociación entre variables

Prueba de ${\chi }^2$

• La prueba de ${\chi }^2$ (chi cuadrado) se utiliza para inferencia sobre asociación de variables categóricas en una tabla de contingencia

• ${\chi }^2$ se basa en un test de diferencia, donde se compara nuestra tabla de contingencia y una tabla donde no existe asociación entre variables, que representa la hipótesis nula $H_0$

• La lógica detrás es que si nuestra tabla es significativamente distinta de una tabla sin asociación, entonces podemos rechazar la hipóteis nula

Pasos en el cálculo de ${\chi }^2$

• Generación de tabla de contingencia observada en base a nuestros datos

• Generación de tabla de contingencia esperada al azar en base a nuestros datos

• Establecer la diferencia entre lo observado y lo esperado al azar

• Establecer si esta diferencia es estadísticamente significativa

Frecuencia esperada al azar en una tabla de contingencia

Nos enfocamos en la celda a, su frecuencia esperada es:

$$f_{e_a}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}$$

En base a los datos de nuestro ejemplo de 100 casos:

$$f_{e_a}=\frac{\left(50\right)\left(50\right)}{100}=\frac{2500}{100}=25$$

Por lo tanto, la frecuencia esperada al azar para la celda a=25

Sentido general de la prueba de ${\chi }^2$

• La lógica de la prueba de Chi 2 es la comparación de las frecuencias observadas $\left(f_o\right)$ en nuestra tabla y de las frecuencias esperadas $\left(f_e\right)$ por azar

• Si nuestra tabla $\left(f_o\right)$ se diferencia significativamente del azar $\left(f_e\right)$, entonces podemos rechazar la hipótesis nula y tenemos evidencia de asociación entre variables

Cálculo de frecuencias esperadas para ejemplo con CASEN

En R también es posible obtener las frecuencias esperadas por celda con la función CrossTable de la librería gmodels

gmodels::CrossTable(casen2022_chi$educ_sup,
                    casen2022_chi$discrim, 
                    expected=TRUE,
                    prop.r = FALSE, 
                    prop.c=FALSE, 
                    prop.chisq = FALSE, 
                    prop.t = FALSE)

$${\chi }^2=247.46$$

Inferencia y ${\chi }^2$

• Tal como en los pasos de la inferencia para pruebas anteriores (como $Z$ y $t$), para realizar la prueba de hipótesis comparamos el valor observado de ${\chi }^2$ con un valor crítico, que proviene de la distribución ${\chi }^2$

• además de especificar la probabilidad de error $\alpha$, se requiere especificar los grados de libertad

Grados de libertad en ${\chi }^2$

• Como en la distribución $t$, ${\chi }^2$ también se ajusta por los grados de libertad, que se obtienen sumando el numero de niveles/categorías -1 de cada variable

• En nuestro ejemplo de tabla de 2x2 (dos categorías de cada variable), los grados de libertad equivalen a:

$$gl=(2-1)\ast (2-1)=1\ast 1=1$$

Comparación valor crítico y valor estimado

• ${\chi }^2$ estimado: 247.46

• ${\chi }^2$ crítico para un $\alpha =0.05$ y 1 grado de libertad: 3.84

• En el ejemplo: valor estimado ${\chi }^2$ > valor crítico ${\chi }^2$

• Por lo tanto se rechaza $H_0$, podemos decir que hay evidencia de asociación entre percepción de discriminación y nivel educacional con un 95% de confianza

${\chi }^2$ directamente en R

La función es chisq.test()

chisq.test(table(casen2022_chi$educ_sup,
                 casen2022_chi$discrim))

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data:  table(casen2022_chi$educ_sup, casen2022_chi$discrim)
X-squared = 247.46, df = 1, p-value < 2.2e-16

Resumen: 5 pasos inferencia para tablas cruzadas

1. Establecer las hipótesis

2. Calcular frecuencias esperadas

3. Estimar estadístico de prueba ${\chi }^2$

4. Establecer valor crítico de la prueba (de acuerdo a un cierto nivel de confianza y grados de libertad)

5. Contraste e interpretación

Resumen general asociación bivariada y niveles de medición