Tipos de correlación según nivel de medición

Escalas de medición de variables

• NOIR: Nominal, Ordinal, Intervalar, Razón

Tablas de contingencia y asociación

Ejemplo (Datos CASEN 2022)

Pensemos en la siguiente pregunta de investigación:

¿Existe una asociación entre la percepción de ser discriminado y el nivel educacional?

Ha$H_a$: el nivel educacional se asocia a la percepción de ser discriminado

H0$H_0$: no hay asociación entre nivel educacional y percepción de ser discriminado

Tabla de frecuencias cruzadas

pacman::p_load(sjPlot)
casen2022_chi %>%
  sjtab(educ_sup,
        discrim)

Para simplificar, pensemos en una muestra más pequeña de 100 casos. Pensemos que nuestra tabla (observada) es esta:

Ahora veamos como sería una tabla teórica que exprese como sería una asociación total entre las variables:

En lenguaje de test de hipótesis, la tabla teórica representa nuestra hipótesis alternativa:

• -> existe asociación entre percepción de discriminación y nivel educacional

  Pero según la lógica de falsación de hipótesis, en lugar de analizar qué tan parecida es nuestra tabla observada a la tabla teórica de asociación, se contrasta la observada con una tabla donde no hay asociación

  La tabla de no-asociación es la tabla de frecuencias esperadas al azar

Frecuencia esperada al azar en una tabla de contingencia

ej: celda a, su frecuencia esperada es:

fea=(a+b)(a+c)N$$f_{e_a}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}$$

En base a los datos de nuestro ejemplo de 100 casos:

Por lo tanto, la frecuencia esperada al azar para la celda a=25

• Del ejemplo se podría deducir que la frecuencia esperada es simplemente el total de casos dividido por el número de celdas: 100/4=25.

• Esto ocurre en el ejemplo porque es una tabla uniforme: los totales de las filas y columnas son los mismos, por lo tanto la frecuencia esperada para cada celda es la misma

• ¿Qué pasa en una tabla no uniforme?

En este caso, las frecuencias esperadas serán distintas para cada celda, ej:

(a)=fea=(a+b)(a+c)N=60∗55100=3300100=33$$\left(a\right)=f_{e_a}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}=\frac{60\ast 55}{100}=\frac{3300}{100}=33$$ (b)=feb=(a+b)(a+c)N=60∗45100=2700100=27$$\left(b\right)=f_{e_b}=\frac{(a+b)(a+c)}{N}=\frac{60\ast 45}{100}=\frac{2700}{100}=27$$

Pasos en el cálculo de χ2${\chi }^2$

• Generación de tabla de contingencia en base a nuestros datos -> tabla de frecuencias observadas

• Generación de tabla de contingencia esperada al azar en base a la tabla observada

• Establecer la diferencia entre lo observado y lo esperado al azar

• Establecer si esta diferencia es estadísticamente significativa

Cálculo de frecuencias esperadas para ejemplo con CASEN

En R también es posible obtener las frecuencias esperadas por celda con la función CrossTable de la librería gmodels

gmodels::CrossTable(casen2022_chi$educ_sup,
                    casen2022_chi$discrim, 
                    expected=TRUE,
                    prop.r = FALSE, 
                    prop.c=FALSE, 
                    prop.chisq = FALSE, 
                    prop.t = FALSE)

χ2=247.46

Inferencia y χ2

• Tal como en los pasos de la inferencia para pruebas anteriores (como Z y t), para realizar la prueba de hipótesis comparamos el valor observado de χ2 con un valor crítico, que proviene de la distribución χ2

• además de especificar la probabilidad de error α, se requiere especificar los grados de libertad

Grados de libertad en χ2

• Como en la distribución t, χ2 también se ajusta por los grados de libertad, que se obtienen sumando el numero de niveles/categorías -1 de cada variable

• En nuestro ejemplo de tabla de 2x2 (dos categorías de cada variable), los grados de libertad equivalen a:

gl=(2−1)∗(2−1)=1∗1=1

Comparación valor crítico y valor estimado

• χ2 estimado: 247.46

• χ2 crítico para un α=0.05 y 1 grado de libertad: 3.84

• En el ejemplo: valor estimado χ2 > valor crítico χ2

• Por lo tanto se rechaza H0, podemos decir que hay evidencia de asociación entre percepción de discriminación y nivel educacional con un 95% de confianza

χ2 directamente en R

La función es chisq.test()

chisq.test(table(casen2022_chi$educ_sup,
                 casen2022_chi$discrim))

## 
##     Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  table(casen2022_chi$educ_sup, casen2022_chi$discrim)
## X-squared = 247.46, df = 1, p-value < 2.2e-16

Resumen: 5 pasos inferencia para tablas cruzadas

1. Establecer las hipótesis

2. Calcular frecuencias esperadas

3. Estimar estadístico de prueba χ2

4. Establecer valor crítico de la prueba (de acuerdo a un cierto nivel de confianza y grados de libertad)

5. Contraste e interpretación

Coeficiente Phi

• El Coeficiente Phi (φ) es una medida de asociación entre dos variables binarias.

• Es similar al coeficiente de correlación de Pearson pero específico para una tabla de contingencia de 2x2.

• Se interpreta de la misma manera que Pearson en términos de sentido (positivo/negativo) y fuerza (cercanía a 1 / -1)

ϕ=ad−bc√(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=(30×30)−(20×20)√(30+20)(20+30)(30+20)(20+30)=900−400√6250000=5002500=0.2

V de Cramer

Es una medida general de asociación para tablas que pueden ir más allá de 2x2:

VCramer=√χ²n∗(k−1)

Donde:

• χ² es el valor del estadístico Chi-cuadrado.
• n es el total de observaciones.
• k es el menor número entre las filas o columnas de la tabla.

• χ² = 5.35
• n = 180
• La tabla es 3x2, por lo que k = 2.

V=√5.35180∗(2−1)=√5.35180=0.173

Por lo tanto, existe una asociación débil entre las variables

Medidas de asociación según nivel de medición